Меню

Давление на стенки сосуда формула для газа

Давление на стенки сосуда формула для газа

Компьютерная модель иллюстрирует вывод формулы давления идеального газа на стенку сосуда.

Давление газа на стенку сосуда можно вычислить, используя модель идеального газа.

В процессе взаимодействия молекулы со стенкой сосуда между ними возникают силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона. В результате проекция υ скорости молекулы, перпендикулярная стенке, изменяет свой знак на противоположный, а проекция υ скорости, параллельная стенке, остается неизменной (рис. 1).

Поэтому изменение импульса молекулы будет равно 2υ , где – масса молекулы.

Выделим на стенке некоторую площадку (рис. 2). За время Δ с этой площадкой столкнутся все молекулы, имеющие проекцию скорости υ , направленную в сторону стенки, и находящиеся в цилиндре с основанием площади и высотой υ Δ.

Пусть в единице объема сосуда содержатся молекул; тогда число молекул в объеме цилиндра равно υ Δ. Но из этого числа лишь половина движется в сторону стенки, а другая половина движется в противоположном направлении и со стенкой не сталкивается.

Следовательно, число ударов молекул о площадку за время Δ равно .

Поскольку каждая молекула при столкновении со стенкой изменяет свой импульс на величину 2υ , то полное изменение импульса всех молекул, столкнувшихся за время Δ с площадкой , равно .

По законам механики это изменение импульса всех столкнувшихся со стенкой молекул происходит под действием импульса силы Δ, где – некоторая средняя сила, действующая на молекулы со стороны стенки на площадке . Но по 3-му закону Ньютона такая же по модулю сила действует со стороны молекул на площадку . Поэтому можно записать:

Разделив обе части на , получим:

где – давление газа на стенку сосуда.

При выводе этого соотношения предполагалось, что все молекул, содержащихся в единице объема газа, имеют одинаковые проекции скоростей на ось . На самом деле это не так. На самом деле в данную формулу должнен входить средний квадрат проекции υ скорости молекул. С учетом этого формула для давления газа запишется в следующем виде:

Модель может быть использована в режиме ручного переключения кадров и в режиме автоматической демонстрации ( Фильм ).

Источник

Давление на стенки сосуда формула для газа

Отвечая на первый, из поставленных выше, вопрос, предположим, что давление газов на стенки сосуда объясняется ударами молекул .

Для того, чтобы в процессе поиска расчетной формулы этого давления ограничиться знаниями элементарной математики и физики, введем некоторые упрощения .

  • Форма, строение молекул достаточно сложны. Но попробуем представить их в виде маленьких шариков. Это позволит нам применить к описанию процесса удара молекул о стенки сосуда законы механики, в частности, второй закон Ньютона .
  • Будем считать, что молекулы газа находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга, так, что силы взаимодействия между ними пренебрежимо малы. Если между частицами отсутствуют силы взаимодействия, соответственно, равна нулю и потенциальная энергия взаимодействия . Назовем газ, отвечающий этим свойствам, идеальным .
  • Известно, что молекулы газа движутся с разными скоростями . Однако, усредним скорости движения молекул и будем считать их одинаковыми .
  • Предположим, что удары молекул о стенки сосуда абсолютно упругие (молекулы ведут себя при ударе подобно резиновым мячикам, а не подобно куску пластилина). При этом скорости молекул изменяются лишь по направлению, а по величине остаются прежними. Тогда изменение скорости каждой молекулы при ударе равно –2υ.

Введя такие упрощения, рассчитаем давление газа на стенки сосуда.

Давление – это физическая величина, равная отношению перпендикулярной составляющей силы, действующей на поверхность, к площади этой поверхности.

Сила действует на стенку со стороны множества молекул. Она может быть рассчитана как произведение силы, действующей со стороны одной молекулы, на число молекул, движущихся в сосуде в направлении этой стенки. Так как пространство трехмерно и каждое измерение имеет два направления: положительное и отрицательное, можно считать, что в направлении одной стенки движется одна шестая часть всех молекул (при большом их числе): .

Сила, действующая на стенку со стороны одной молекулы, равна силе, действующей на молекулу со стороны стенки. Сила, действующая на молекулу со стороны стенки, равна произведению массы одной молекулы на ускорение, которое она получает при ударе о стенку:

Ускорение же – это физическая величина, определяемая отношением изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло: .

Изменение скорости равно удвоенному значению скорости молекулы до удара: .

Если молекула ведет себя подобно резиновому мячику, нетрудно представить процесс удара: молекула, ударяясь, деформируется. На процесс сжатия и разжатия затрачивается время. Пока молекула действует на стенку сосуда, о последнюю успевает удариться еще некоторое число молекул, находящихся от нее на расстояниях не дальше . (Например, условно говоря, пусть молекулы имеют скорость 100 м/с. Удар длится 0,01 с. Тогда за это время до стенки успеют долететь и внести свой вклад в давление молекулы, находящиеся от нее на расстояниях 10, 50, 70 см, но не далее 100 см).

Будем рассматривать объем сосуда .

Подставив все формулы в исходную, получаем уравнение:

где: – масса одной молекулы, – среднее значение квадрата скорости молекул, – число молекул в объеме .

Сделаем некоторые пояснения по поводу одной из величин, входящих в полученное уравнение.

Так как движение молекул хаотично и преимущественного движения молекул в сосуде нет, их средняя скорость равна нулю. Но ясно, что это не относится к каждой отдельной молекуле.

Для вычисления давления идеального газа на стенку сосуда используется не среднее значение -компоненты скорости молекул а среднее значение квадрата скорости

Чтобы введение этой величины было более понятным, рассмотрим численный пример.

Пусть четыре молекулы имеют скорости 1, 2, 3, 4 усл. ед.

Квадрат среднего значения скорости молекул равен:

Среднее значение квадрата скорости равно:

Если скорости молекул равны +1, –2 , –3 , +4 усл. ед., то квадрат среднего значения скорости равен:

Среднее значение квадрата скорости равно:

Средние значения проекций квадрата скорости на оси связаны со средним значением квадрата скорости соотношением:

Если извлечь квадратный корень из то получим величину, которая называется средней квадратичной скоростью молекул.

Величина, определяемая отношением числа частиц к объему, в котором они находятся, называется концентрацией (обозначается буквой ).

Величина же – это средняя кинетическая энергия каждой молекулы газа.

С учетом этого полученное уравнение можно переписать в виде:

Уравнения связывают макропараметры газа – его давление и объем () с микропараметрами – массой молекул и их скоростью (), или энергией

Последнее уравнение читается следующим образом: давление идеального газа на стенки сосуда прямо пропорционально концентрации молекул в сосуде и их средней кинетической энергии .

Источник

Читайте также:  Какими приборами измеряют артериальное давление
Adblock
detector