Давление жидкости на криволинейные поверхности закон архимеда

Лекция 9. Расчет силы давления жидкости на криволинейные стенки. Закон Архимеда

Известно, что в общем случае система сил давления, приложенных к криволинейной поверхности, приводится к главному вектору и главному моменту сил давления. В частных случаях силы давления приводятся только к равнодействующей (главному вектору).

Равнодействующая сил давления определяется из выражения

(8.1)

Положение в пространстве вектора силы задано направляющими косинусами:

, , (8.2)

Примем, что ось z направлена вертикально вверх.

Горизонтальная составляющая Р_г (Р_х или Р_у) определяется по формуле

, (8.3)

где s_в — площадь проекции рассматриваемой криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, нормальную к соответствующей оси координат (y_oz для силы Р_х, xoz для силы Р_у); р_т — абсолютное давление в центре тяжести площади s_в; р_а — атмосферное давление.

Направление действия силы Р_г зависит от знака величины р_т — р_а (при р_т — р_а>0 — наружу, при р_т — р_а 2 B/4 (пьезометрическая поверхность в этой задаче совпадает со свободной поверхностью жидкости в канале, так как на ней давление атмосферное).

Сила Р_z приложена в центре тяжести объема тела давления и направлена вверх, так как любая элементарная сила давления жидкости dP любой точке щита дает при разложении вертикальную составляющую, направленную вверх.

2. Горизонтальная составляющая силы давления

направлена слева направо (все dP_г направлены от жидкости к стенке).

3. Результирующая сила давления жидкости

направлена по радиусу к оси щита; угол ее наклона к горизонту определяется из выражения:

.

Следовательно, a=57 о 27¢.

Пример 2. В боковой плоской стенке резервуара с реактивным топливом (r = 800 кг/м 3 ) имеется круглый люк диаметром d = 0,5 м, закрытый полусферической крышкой (рис. 8.3). Высота жидкости в резервуаре над осью люка Н = 3 м, вакуум на ее свободной поверхности р_в = 4,9 кПа.

Определить горизонтальную и вертикальную составляющие силы давления жидкости на крышку люка, а также величину их равнодействующей и ее направление.

Решение 1. Найдем положение пьезометрической плоскости, необходимой для определения объема тела давления. Так как на свободной поверхности жидкости – вакуум, пьезометрическая плоскость будет лежать ниже на расстоянии

м.

2. Определим вертикальную составляющую силы давления жидкости на крышку.

Пьезометрическая плоскость лежит выше оси крышки на

м,

следовательно, силы давления направлена наружу.

Для верхней половины крышка люка вертикальная составляющая направлена вверх, и ее величина определяется весом тела давления, заштрихованного на рис. 8.3 «справа вниз». Объем этого тела давления равен разности объемов полуцилиндра высотой h и четверти шара.

Для нижней половины крышки вертикальная составляющая силы давления направлена вниз. Объем тела давления для этого случая равен сумме объемов полуцилиндра и четверти шара (на рис. 8.3 заштриховано «слева вниз»).

Результирующая вертикальная сила равна разности этих двух сил, направлена вниз, и объем ее тела давления равен объему жидкости в крышке люка. Поэтому

Н.

Линия действия этой силы проходит через центр тяжести объема крышки люка на расстоянии от ее основания:

м.

3. Определим горизонтальную составляющую силы давления жидкости на крышку. По формуле

кН.

Сила направлена параллельно оси х, а линия ее действия лежит ниже этой оси, по (7.3), на

м.

4. Определим равнодействующую сил давления:

кН.

Косинус угла a между осью х и линией действия этой силы:

Задача. 8.1. Горизонтальная цилиндрическая цистерна с полусферическими днищами целиком заполнена топливом (r = 800 кг/м 3 ). Давление в верхней части цистерны, измеряемое манометром, р_м = 14,7 кПа, длина цистерны l = 5 м, ее диаметр d = 3 м (рис. 8.4).

Определить величины сил давления, растягивающих цистерну в сечениях А – А и В – В, и положение линий их действия.

Ответ: Р_А-А = 187 кН, ниже горизонтальной оси цистерны на 0,167 м; Р_В-В = 390 кН, через центр тяжести объема цистерны.

Задача. 8.2.В днище резервуара с жидкостью (r = 800 кг/м 3 ) имеется круглое спускное отверстие (d₁ = 10 м), закрытое полусферическим клапаном (рис. 8.5).

Определить, при каком диаметре d₂ цилиндрического поплавка клапан автоматически откроется при достижении высоты уровня жидкости в резервуаре Н = 2 м? длина цепочки, связывающей поплавок с клапаном, l = 0,95 м, вес подвижных частей устройства G = 30 H, избыточное давление на свободной поверхности жидкости р_и = 49 кПа.

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 3334 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

Силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае определяются, тремя составляющими суммарной силы и тремя моментами.

При действии жидкости на цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии, сила давления жидкости сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии. Возьмем криволинейную поверхность АВ, образующая которой перпендикулярна к плоскости чертежа (рис.3.12а), определим силу давления жидкости на эту поверхность.

Рис.3.12. Определение сил давления на криволинейную стенку; а) жидкость внутри сосуда; б) жидкость вне сосуда.

Выделим объем жидкости, ограниченный поверхностью АВ, вертикальными плоскостями, проведенными через границы этого участка ВС и AD, свободной поверхностью жидкости. Рассмотрим условия равновесия объема АВСD в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Сила давления жидкости F действует на стенку АВ, стенка АВ удерживает действие жидкости силой реакции стенки — R, направленной в противоположную сторону.

Условие равновесия объема АВСD в вертикальном направлении имеет вид

Fв= РSг + G = РSг + ρgV_В, (3.6)

где Р — давление на свободной поверхности жидкости; S_г — площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G — вес выделенного объема жидкостиV, объем V_В называют объемом тела давления. Линия действия Fв проходит через ц.т. объема Vo.

Условие равновесия этого объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕD и BC взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь AЕ т. е. на вертикальную проекцию поверхности S_в. Тогда

Направление горзонтальной силы находится по правилам , соответствующим силе, действующей на плоскую стенку.

Определив по формулам (3.7) и (3.6) вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы Рж, найдем

(3.8)

Сила давления жидкости на криволинейную стенку будет равна силе реакции стенки Rж = P и направлена в противоположную сторону.

Когда жидкость расположена снаружи (рис.3.12б), сила гидростатического давления на криволинейную поверхность АВ определяется также, но направление ее будет противоположным.

В условия равновесия, как и в первом случае, входит вес жидкости G в объеме АВСD, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на цилиндрической стенке можно найти, если известны площади Sв и Sг и определен центр тяжести выделенного объема АВСD.

Для стенок постоянной кривизны (цилиндрических, сфериче­ских) полная сила давления проходит через центр или ось кри­визны стенки.

При избыточном давлении на смоченной стороне стенки все составляющие и полная сила давления жидкости направлены от жидкости на стенку (изнутри наружу), рис.3.13а.

В случае разрежения на смоченной стороне стенки силы на­правлены снаружи внутрь сосуда, рис.3.13б.

При двустороннем воздействии жидкостей на стенку сначала определяются горизонтальные и вертикальные составляющие с каждой стороны стенки в предположении одностороннего воз­действия жидкости, а затем суммарные горизонтальная и верти­кальная составляющие от воздействия обеих жидкостей.

На рис. 3.13 показано определение горизонтальной и верти­кальной составляющих и полной силы давления жидкости на симметричную стенку АВ при избыточном давлении (а) и при разрежении (б) на смоченной стороне стенки.

Объем, построенный на криволинейной поверхности, ограниченный цилиндрической вертикальной поверхностью и сверху пьезометрической плоскостью называется объемом тела давления.

Тело давления в обоих случаях ограничено пьезометрической плоскостью, сила давления в случае избыточного давления направлена наружу, в случае разряжения внутрь сосуда. В ряде задач силу давления на криволинейную стенку удобнее находить по ее составляющим вдоль наклонных осей.

Сила давления жидкости на стенку по любому заданному на­правлению s (рис. 3.14)

где Gs — вес жидкости в объеме Vs, ограниченном стенкой, пье­зометрической плоскостью и проектирующей поверхностью, па­раллельной заданному направлению; α — угол между заданным направлением и вертикалью.

Рис.3.13. Силы давления на криволинейную стенку при действии: а) избыточном давлении в сосуде; б) при вакууме.

Линия действия силы Рs проходит через центр тяжести жидко­сти в объеме Vs.

Рис.3.14 Определение силы давления жидкости по заданному направлению.

В некоторых случаях для нахождения той или иной состав­ляющей силы давления жидкости на стенку следует разбить ее поверхность на отдельные участки, определить соответствующие усилия на каждый участок стенки и далее просуммировать их.

Для определения вертикальной составляющей силы дав­ления жидкости на полусферическую стенку abc следу­ет разделить поверхность полусферы горизонтальной плоскостью на верхнюю ab и нижнюю bc половины и найти вертикальные силы давления жидкости на каждую из них (рис. 3.15).

Рис.3.15 Определение силы давления жидкости на полусферическую стенку разбиением на два объема.

Вертикальная сила на стенку ab равна весу жидкости в объеме аbтп (Р_ab = ρgV_abmn) и направлена вверх; вертикальная сила на стенку bс равна весу жидкости в объеме сbтп (Р_bc = ρgV_сbтп) и направлена вниз. Следовательно, вертикальная сила давления на всю полусферу аbс равна разности указанных сил:

т.е. равна весу жидкости в объеме полусферы и направлена вниз.

Возможным приемом расчета силы давления является рассмотрение равновесия объ­ема жидкости, заключенного между стенкой и плоским сечением, проведенным через ее граничный контур. Например, тре­буется определить силу Р давления жидкости на коническую крышку (рис. 3.16).

Ри.3.16. Определение силы давления жидкости при рассмотрении

равновесия объема жидкости в крышке.

Условие равновесия объема жидкости, заполняющей конус, выражается векторным уравнением

,

где N — сила давления жидкости на выделенный объем, т.е. на плоское се­чение ас (N=ρgHF_ac ) и проходит по нормали к сечению через центр дав­ления D); G — вес выде­ленного объема жидкости (G = ρgV); R — сила действия конуса на жидкость. Так как искомая сила Fж равна и противоположна силе R, полу­чаем уравнение

,(3.10)

из которого можно определить силу давления Р или любую ее составляющую.

Плавание тел.

Выталкивающая сила является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на тело.

В жидкость погружено тело произвольной формы объемом Wт (рис.3.17).

Рис.3.17 Выталкивающая сила

На свободную поверхность жидкости тело проектируется в виде сечения S, по этой поверхности проведем цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой АВСD. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела от нижней ее части.

Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме АFCME.

Вертикальная составляющая силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме ANCMF.

Разность между этими силами равна вертикальной равнодействующей сил давления жидкости на тело, будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме жидкости, вытесненной телом.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, равная весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тела.

Центр тяжести объема погруженной части тела называется центром водоизмещения или центром давления, так как в этой точке приложена равнодействующая сил давления на тело.

Объем жидкости, вытесненный телом, называется объемным водоизмещением.

Выталкивающая сила называется также силой Архимеда.

Вес G тела и архимедова сила могут находиться в следующих соотношениях:

1) G > F_А — отрицательная плавучесть, тело тонет;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник