Примеры решения задач. Пример 1. Определить плотность воздуха при давлении 830 мм рт
Пример 1. Определить плотность воздуха при давлении 830 мм рт. ст. и температуре 17 °С.
Решение.Для решения задачи необходимо перевести данные в единицы международной системы СИ. Давление воздуха равно 830 мм рт. ст. Это значит, что давление воздуха равно давлению у основания ртутного столба высотой 830 мм, а оно рассчитывается по формуле
,
где Р – давление; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h – высота столба жидкости.
Переведем температуру в градусы Кельвина:
Молярная масса воздуха
Плотность газа определяется отношением его массы к объему:
.
Из уравнения Менделеева – Клапейрона выразим плотность:
,
Пример 2. В баллоне объемом 40 литров находится кислород при температуре 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на 100 кПа. Определить массу израсходованного кислорода. Температура газа в баллоне не изменилась.
Решение. Массу израсходованного кислорода можно определить как разность масс газа до работы с баллоном и после работы с баллоном:
В общем виде изменение массы газа определяется по формуле
Решая последнее уравнение, мы получим Dm зависит от средней скорости молекулы и средней длины ее свободного пробега и выражается формулой
Пример 4. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 °С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?
Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарическом нагревании, определяется по формуле
где m – масса нагреваемого газа; ср – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении; DT – изменение температуры газа.
,
где i – число степеней свободы молекулы газа; R – универсальная газовая постоянная; m – масса одного киломоля газа.
Подставив выражение сp в Q, получим
Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах системы СИ: m = 200 г =0.2 кг; i = 5, т. к. водород – газ двухатомный.
;
.
Подставим эти значения в формулу Q и произведем вычисление:
Внутренняя энергия газа выражается формулой
Следовательно, изменение внутренней энергии
Подставив сюда числовые значения в системе СИ, получим
Работу расширения газа найдем по формуле, выражающей первое начало термодинамики,
Подставив значение Q и DU, найдем
Работу, совершаемую газом, можно определить также по формуле
Подставив числовые значения, получим
Пример 5. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру 200 °С. Какова температура охладителя, если за счет каждой килокалории тепла, полученной от нагревателя, машина совершает работу 1680 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитываются.
Решение.Температуру охладителя можно найти, использовав выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно,
где Т1 – абсолютная температура нагревателя; Т2 – абсолютная температура охладителя.
Термический КПД тепловой машины есть коэффициент использования теплоты. Он выражает отношение количества теплоты, которое превращено в работу А, к количеству теплоты Q1, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е.
Найдем температуру охладителя
Выразим все величины в системе СИ и вычислим температуру охладителя:
Q1 = 1 ккал = = 4.19×10 3 Дж;
Т1 = 200 + 273 = 473 К;
.
Пример 6. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от
0 до 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.
Решение.Найдем отдельно изменение энтропии 
при нагревании воды и изменение энтропии 
при превращении воды в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой и .
Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой
При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты
где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость.
Запишем формулу для вычисления энтропии при нагревании воды:
Вынеся за знак интеграла постоянные величины и произведя интегрирование, получим
Произведем вычисления в системе СИ:
m = 100 г = 0.1 кг;
При вычислении изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура T может быть вынесена за знак интеграла. Вычислив интеграл, получим
где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры;
где l – удельная теплота парообразования.
Таким образом, изменение энтропии
.
Выразим числовые значения величин в системе СИ:
;
Произведем арифметические действия:
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар
Пример 7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре 400 К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не выше чем на 5 м/с?
Решение.Распределение молекул по относительным скоростям выражается уравнением
Здесь N – полное число молекул газа; f(u) – функция распределения Максвелла; u = υ/υв, где υ – данная скорость, υв – наиболее вероятная скорость.
Поскольку в задаче речь идет о наиболее вероятной скорости, надо считать υ = υв. Следовательно, u = 1 и уравнение примет более простой вид:
Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Δu:
. (1)
Прежде чем производить расчеты по (1), необходимо убедиться в том, что выполняется условие Δu –μ gh/ RT ,
h = (–8.31∙273∙ln(3/4))/(0.029∙9.8) = 2296.4 м.
Дата публикования: 2015-10-09 ; Прочитано: 4382 | Нарушение авторского права страницы
Источник