Меню

По уравнению ван дер ваальса определить давление

По уравнению ван дер ваальса определить давление

Состояние определенной массы любого вещества можно описать с помощью трех параметров: давления \(p\) , объема \(V\) и температуры \(T\) . Эти параметры связаны между собой. Их взаимосвязь описывается уравнением состояния , которое в общем случае имеет вид: \[F\left( \right) = 0.\] Конкретный вид уравнения зависит от свойств вещества. Например, разреженный газ при достаточно высокой температуре хорошо описывается моделью идеального газа . Уравнением состояния для него является известное уравнение Клапейрона (\(1799-1864\)) , предложенное в \(1834\) году: \[pV = \fracRT.\] Здесь \(m\) − масса газа, \(M\) − молярная масса (т.е. масса одного моля данного газа), \(R\) − универсальная газовая постоянная. Для одного моля газа это уравнение принимает следующий вид: \[pV = RT.\] Проведенные позднее эксперименты выявили отклонение в поведении реальных газов от законов идеального газа. Эти результаты были обобщены голландским физиком Яном Дидериком Ван-дер-Ваальсом (\(1837-1923\)) , который в \(1873\) году предложил более точное уравнение состояния реального газа. Оно называется уравнением Ван-дер-Ваальса и в расчете на один моль записывается в виде \[\left(

>>> \right)\left( \right) = RT.\] Данное уравнение учитывает силы притяжения и отталкивания, действующие между молекулами. Силы притяжения учитываются благодаря пристеночному эффекту . Действительно, для частиц, находящихся во внутренней области, силы притяжения со стороны других молекул в среднем скомпенсированы. Однако для частиц вблизи стенок сосуда возникает нескомпенсированная сила притяжения \(f,\) направленная внутрь сосуда. Эта сила, с одной стороны, пропорциональна концентрации частиц \(n\) в сосуде, а с другой стороны − пропорциональна концентрации частиц в пристеночном слое. В результате получаем: \[f \sim \sim \frac<1><<>>,\] где \(n\) − концентрация молекул в сосуде, \(V\) − объем \(1\) моля газа.

Рассмотренный эффект притяжения молекул пристеночного слоя приводит к уменьшению давления на стенки сосуда. При формальном переходе от уравнения Клапейрона к уравнению Ван-дер-Ваальса это соответствует замене \[p \to p + \frac<<>>,\] где \(a\) − коэффициент, зависящий от конкретного газа и размеров сосуда.

Силы отталкивания между молекулами в модели Ван-дер-Ваальса учитываются очень просто: предполагается, что молекулы имеют форму шара радиуса \(r\) и не могут приблизиться друг к другу на расстояние между центрами, меньшее чем \(2r.\) Можно считать, что вокруг одной из двух молекул существует «запрещенный» (исключенный) объем (рисунок \(1\)), равный \[\frac<4><3>\pi <\left( <2r>\right)^3> = 8 \cdot \frac<4><3>\pi .\] Следовательно, в расчете на одну молекулу исключенный объем равен \[ = 4 \cdot \frac<4><3>\pi = 4,\] где \(\) − объем одной молекулы.

В результате , если в уравнении Клапейрона объем пространства, доступного для движения молекул, был равен \(V,\) то теперь он становится равным \[V — = V — b,\] где \(\) − число Авогадро (равное числу молекул в одном моле газа), \(b\) − исключенный объем, обусловленный отталкиванием молекул.

Предполагая, что силы притяжения и отталкивания молекул действуют совместно и заменяя \(p\) и \(V\) новыми выражениями, получаем из уравнения Клапейрона уравнение Ван-дер-Ваальса: \[\left(

>>> \right)\left( \right) = RT.\]

Источник

По уравнению ван дер ваальса определить давление

Предпринималось много попыток для учета отклонений свойств реальных газов от свойств идеального газа путем введения различных поправок в уравнение состояния идеального газа. Наибольшее распространение вследствие простоты и физической наглядности получило уравнение Ван-дер-Ваальса (1873).

Читайте также:  Межвизитная вариабельность артериального давления

Первая поправка в уравнении состояния идеального газа рассматривает собственный объем, занимаемый молекулами реального газа. В уравнении Дюпре (1864)

постоянная b учитывает собственный мольный объем молекул.

При понижении температуры межмолекулярное взаимодействие в реальных газах приводит к конденсации (образование жидкости). Межмолекулярное притяжение эквивалентно существованию в газе некоторого внутреннего давления (иногда его называют статическим давлением). Изначально величина была учтена в общей форме в уравнении Гирна (1865)

(p + ) (Vnb) = nRT. (1.4)

Ван-дер-Ваальс в 1873 г. дал функциональную интерпретацию внутреннего давления. Согласно модели Ван-дер-Ваальса, силы притяжения между молекулами (силы Ван-дер-Ваальса) обратно пропорциональны шестой степени расстояния между ними, или второй степени объема, занимаемого газом. Считается также, что силы притяжения суммируются с внешним давлением. С учетом этих соображений уравнение состояния идеального газа преобразуется в уравнение Ван-дер-Ваальса:

(1.5)

или для одного моля

. (1.6)

Значения постоянных Ван-дер-Ваальса a и b, которые зависят от природы газа, но не зависят от температуры, приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3. Постоянные Ван-дер-Ваальса для различных газов

Газ a, л 2 *бар* моль -2 b,см 3 * моль -1 Газ a, л 2 * бар* моль -2 b, см 3 * моль -1
He 0,03457 23,70 NO 1,358 27,89
Ne 0,2135 17,09 NO2 5,354 44,24
Ar 1,363 32,19 H2O 5,536 30,49
Kr 2,349 39,78 H2S 4,490 42,87
Xe 4,250 51,05 NH3 4,225 37,07
H2 0,2476 26,61 SO2 6,803 56,36
N2 1,408 39,13 CH4 2,283 42,78
O2 1,378 31,83 C2H4 4,530 5,714
Cl2 6,579 56,22 C2H6 5,562 63,80
CO 1,505 39,85 C3H8 8,779 84,45
CO2 3,640 42,67 C6H6 18,24 115,4

Уравнение (1.6) можно переписать так, чтобы выразить в явном виде давление

(1.7)

(1.8)

Уравнение (1.8) содержит объем в третьей степени и, следовательно, имеет или три действительных корня, или один действительный и два мнимых. При высоких температурах уравнение (1.8) имеет один действительный корень, и по мере повышения температуры кривые, вычисленные по уравнению Ван-дер-Ваальса, приближаются к гиперболам, соответствующим уравнению состояния идеального газа.

На рис. 1.4 (стр. 7) приведены изотермы, вычисленные по уравнению Ван-дер-Ваальса для диоксида углерода (значения констант a и b взяты из табл. 1.3). Из рисунка видно, что при температурах ниже критической (31,04 °С) вместо горизонтальных прямых, соответствующих равновесию жидкости и пара, получаются волнообразные кривые 12345 с тремя действительными корнями, из которых только два, 1 и 5, физически осуществимы. Третий корень (точка 3) физически не реален, поскольку находится на участке кривой 234, противоречащем условию стабильности термодинамической системы . Состояния на участках 12 и 54, которые соответствуют переохлажденному пару и перегретой жидкости, соответственно, являются неустойчивыми (метастабильными) и могут быть лишь частично реализуемы в специальных условиях. Так, осторожно сжимая пар выше точки 1 (рис. 1.4), можно подняться по кривой 12. Для этого необходимо отсутствие в паре центров конденсации, и в первую очередь пыли. В этом случае пар оказывается в пересыщенном, т.е. переохлажденном состоянии. И наоборот, образованию капелек жидкости в таком паре способствуют, например, попадающие в него ионы. Это свойство пересыщенного пара используется в известной камере Вильсона (1912), применяемой для регистрации заряженных частиц. Движущаяся заряженная частица, попадая в камеру, содержащую пересыщенный пар, и соударяясь с молекулами, образует на своем пути ионы, создающие туманный след – трек, который фиксируется фотографически.

Читайте также:  Как понять что у тебя артериальное давление

Согласно правилу Максвелла (the Maxwell construction), которое имеет теоретическое обоснование, для того, чтобы расчетная кривая соответствовала экспериментальной равновесной изотерме, нужно вместо кривой 12345 провести горизонтальную прямую 15 так, чтобы площади 1231 и 3453 были равны. Тогда ордината прямой 15 будет равна давлению насыщенного пара, а абсциссы точек 1 и 5 – мольным объемам пара и жидкости при данной температуре.

По мере повышения температуры все три корня сближаются, и при критической температуре Tc все три корня становятся равными. В критической точке изотерма Ван-дер-Ваальса имеет точку перегиба [] с горизонтальной касательной [], то есть

, (1.9)

. (1.10)

Совместное решение этих уравнений дает:

, (1.11)

, (1.12)

, (1.13)

что позволяет определять константы уравнения Ван-дер-Ваальса из критических параметров газа. Соответственно, согласно уравнению Ван-дер-Ваальса, критический фактор сжимаемости Zc для всех газов должен быть равен

(1.14)

Из таблицы 1.2 видно, что хотя значение Zc для реальных газов приблизительно постоянно (0,27 – 0,30 для неполярных молекул), оно все же заметно меньше вытекающего из уравнения Ван-дер-Ваальса. Для полярных молекул наблюдается еще большее расхождение.

Принципиальное значение уравнения Ван-дер-Ваальса определяется следующими обстоятельствами:

1) уравнение было получено из модельных представлений о свойствах реальных газов и жидкостей, а не явилось результатом эмпирического подбора функции f(p,V,T), описывающей свойства реальных газов;

2) уравнение долго рассматривалось как некоторый общий вид уравнения состояния реальных газов, на основе которого было построено много других уравнений состояния (см. ниже);

3) с помощью уравнения Ван-дер-Ваальса впервые удалось описать явление перехода газа в жидкость и проанализировать критические явления. В этом отношении уравнение Ван-дер-Ваальса имеет преимущество даже перед более точными уравнениями в вириальной форме (см. 1.1, 1.2).

Причиной недостаточной точности уравнения Ван-дер-Ваальс считал ассоциацию молекул в газовой фазе, которую не удается описать, учитывая зависимость параметров a и b от объема и температуры, без использования дополнительных постоянных. После 1873 г. сам Ван-дер-Ваальс предложил еще шесть вариантов своего уравнения, последнее из которых относится к 1911 г. и содержит пять эмпирических постоянных. Две модификации уравнения (1.5) предложил Клаузиус, и обе они связаны с усложнением вида постоянной b. Больцман получил три уравнения этого типа, изменяя выражения для постоянной a. Всего известно более сотни подобных уравнений, отличающихся числом эмпирических постоянных, степенью точности и областью применимости. Выяснилось, что ни одно из уравнений состояния, содержащих менее 5 индивидуальных постоянных, не оказалось достаточно точным для описания реальных газов в широком диапазоне p, V, T, и все эти уравнения оказались непригодными в области конденсации газов. Из простых уравнений с двумя индивидуальными параметрами неплохие результаты дают уравнения Дитеричи и Бертло (см. табл. 1.4).

Сервер создается при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
Не разрешается копирование материалов и размещение на других Web-сайтах
Вебдизайн: Copyright (C) И. Миняйлова и В. Миняйлов
Copyright (C) Химический факультет МГУ
Написать письмо редактору

Источник

Уравнение Ван-дер-Ваальса

При низких давлениях и высоких температурах закон Менделеева-Клапейрона также довольно точно описывает поведение реальных газов, однако в других условиях реальные газы значительно отклоняются от идеальности. Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает эти отклонения.

Читайте также:  Существует ли прямая связь между изменениями давления и изменениями погоды

Формула уравнения Ван-дер-Ваальса

Уравнение Ван-дер-Ваальса имеет вид:

В этом уравнении n – количество молей газа, р – его давление, V – занимаемый газом объем, Т – абсолютна температура газа. Универсальная газовая постоянная имеет значение 8,31441 Дж/(моль•К), одинаковое для всех газов.

Переменная а – это поправка на силу притяжения между молекулами газа. Под действием этой силы молекулы притягиваются друг к другу, внутрь газа, уменьшая давление на стенку. Переменная b – поправка, учитывающая собственный объем, занимаемый молекулами газа. Эти поправки зависят от вида газа, и могут быть найдены из таблиц либо рассчитаны по следующим формулам:

Здесь и – это давление и абсолютная температура газа в критической точке, то есть в точке перехода газообразной фазы в жидкую.

В реальном газе расстояния между молекулами меньше, чем в идеальном, и сравнимы с размерами самих молекул. Поэтому силы взаимодействия между молекулами становятся достаточно большими. В объеме газа молекула со всех сторон окружена другими молекулами, и силы их притяжения уравновешиваются. Однако когда молекула приближается к стенке, силы притяжения больше не уравновешиваются и «втягивают» её внутрь. Поэтому молекула движется к стенке медленнее, из-за чего давление на стенку уменьшается. Это и учитывает поправка а.

Кроме того, за счёт сил межмолекулярного взаимодействия реальные газы способны переходить в жидкое состояние, и уравнение Ван-дер-Ваальса довольно точно описывает поведение газов вблизи этого перехода.

Так как в реальном газе расстояние между молекулами сравнительно невелико, молекула должна пролететь меньшее расстояние, чтобы удариться о стенку. Поэтому при очень больших давлениях давление на стенку возрастает, и это учитывает поправка b.

Уравнение Ван-дер-Ваальса применяется, в частности, при определении параметров пара в теплотехнике и теплотехнике, при исследовании сжижения газов.

Примеры решения задач

Задание Какую температуру имеет азот массой 2 грамма, занимающий объём 800 см при давлении 0,2 МПа, если его рассматривать как реальный газ?
Решение Для удобства переведем значения величин в систему СИ:

800 см 3 = 0,0008 м 3 ;

Табличные значения поправок a и b для азота:

a = 0,136 Па•м 6 /моль 2 ;

b = 3,85•10 -5 м 3 /моль.

Определим, сколько молей содержится в 4 г водорода. Учтём, что водород – двухатомный газ, поэтому его молекулярная масса М – сумма двух атомных масс водорода А.

=0,071 моль.

Выразим температуру из уравнения Ван-дер-Ваальса:

Ответ
Задание Вычислить поправки a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота, если известны критическая температура Ткр = 126 К и критическое давление ркр = 3,39 МПа.

Решение Помножив уравнение Ван-дер-Ваальса на и разделив на p, получим кубическое уравнение относительно объема:

Это уравнение имеет три корня. В точке перегиба, показанной на рисунке, все эти корни действительны и равны друг другу. Точка перегиба и есть критической точкой, в которой газообразная фаза переходит в жидкую.

Чтобы найти критические параметры, воспользуемся свойствами точки перегиба: первая и вторая производная уравнения обращаются в нуль.

Решим эти уравнения относительно объема и температуры, получим критические параметры:

Выразив давление из уравнения Ван-дер-Ваальса и записав это уравнение для критических параметров, получим:

Подставим в это уравнение , и после решения получим:

Запишем систему уравнений:

м 3 /моль.

Подставив b во второе уравнение системы, получим:

Па•м 6 /моль 2 .

Источник

Диагностика и виды давления © 2021
Все права сохранены © 2020. Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению. Обязательно проконсультируйтесь с вашим лечащим врачом. Внимание! Материалы могут содержать информацию, предназначенную для пользователей старше 18 лет. 18+

Adblock
detector