Меню

Вычислить силу давления воды на пластину вертикально погруженную в воду

Аналитическая геометрия

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке выражается интегралом

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой где и — величины зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

Пример 3. Прямоугольный сосуд наполнен водой и маслом в равных по объему частях, причём масло вдвое легче воды. Показать, что сила давления смеси на боковую стенку уменьшиться на одну пятую, если воду заменить маслом.

Решение. Пусть h- глубина сосуда, l- длина стенки. Введем систему координат так, как показано на рис. 9.3. Так как масло располагается над водой и занимает верхнюю половину сосуда, то сила

давления масла на верхнюю половину стенки равна

Давление на глубине x>h/2 слагается из давления столба масла высотой h/2 и столба высотой x-h/2 и потому

Следовательно, сила давления смеси на нижнюю половину стенки равна

Полное давление смеси на стенку равно

Если бы сосуд был наполнен только маслом, то сила давления на ту же стенку была бы равна

Пример 4. Электрический заряд Е, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку (b, 0). Определить работу А силы отталкивания F.

Решение. Дифференциал работы силы на перемещении dx равен

Отсюда

При b®¥ работа А стремится к величине eE/a.

Пример 5. Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом Р с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h.

Решение. Обозначим через F величину силы притяжения ракеты Землёй. Пусть -масса ракеты, -масса Земли. Согласно закону Ньютона

Где х- расстояние от ракеты до центра Земли. Полагая получим F(x)=K/, R£x£h+R, R- радиус Земли. При x=R сила F(R) будет весом ракеты Р, т. е. откуда и

Читайте также:  Пониженное давление симптомы тошнота головокружение

Таким образом, дифференциал работы есть

Предел

Равен работе, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью освободить ракету от земного притяжения (движение Земли при этом не учитывается).

Пример 6. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиуса R, вращающийся с угловой скоростью w вокруг своего диаметра?

Решение. Количество необходимой работы равно кинетической энергии шара. Для подсчета этой энергии разобьём шар на концентрические полые цилиндры толщины dx; скорость точек такого цилиндра радиуса х есть wх.

Дифференциал объёма такого цилиндра равен дифференциал массы dM= g dV, где g- плотность железа, дифференциал кинетической энергии

Пример 7. Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током

в течение периода Т в проводнике с сопротивление R.

Решение. Для постоянного тока количество тепла в единицу времени определяется законом Джоуля – Ленца

При переменном токе дифференциал количества тепла равен откуда

Рассмотрим модель действий на примере решения задач, уравнений. Матриц и прочих заданий по математике. Математика — это именно такой предмет, где изначально ложный метод не позволит Вам найти решение любой задачи, где решение уравнений осуществляется по заранее описанным схемам и методам, а решение матриц осуществляется по четко отработанным алгоритмам.

Источник

Вычислить силу давления воды на пластину вертикально погруженную в воду

&nbsp &nbsp Задача 22. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (рис). Плотность воды ускорение свободного падения положить равным Указание. Давление на глубине &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp равно &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 5

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 6 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 10

&nbsp &nbsp Задача 22. Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъёме спутника с поверхности Земли на высоту &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp . Масса спутника равна &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp т, радиус Земли &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp . Ускорение свободного падения &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp у поверхности Земли положить равным &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 12 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 15

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 18 &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 20

&nbsp &nbsp Задача 22. Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp м (рис. 3).
Указание. Уравнение состояния газа &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp , где &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp — давление, &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp — объём.


&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 24 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 25

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 30

Читайте также:  Как вычислить давление воды в резервуаре

Источник

Вычисление давления

Дата добавления: 2015-08-31 ; просмотров: 6012 ; Нарушение авторских прав

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому3 давление жидкости на площадку равно площади S ,умноженной на глубину её погружения h ,на плотность и на ускорение силы тяжести т.е.

7.4.1. (о давлении жидкости на погруженную в нее вертикальную стенку).

В жидкость, удельный вес которой равен f, погружена верти­кальная стенка. Определить численное значение (модуль) силы гидростатического давления жидкости на эту стенку.

Решение. Из гидростатики известно, что давление жидкости на погруженную в нее горизонтальную пластинку численно равно весу столба жидкости, опирающегося на эту пластинку, т. е. произведению площади этой пла­стинки на ее расстояние от сво­бодной поверхности жидкости и на удельный вес жидкости.

Если площадь пластинки S, ее расстояние от свободной поверхности жидкости h, а удельный вес жидкости γ, то модуль силы давления

Но эта формула верна только для пластинки, занимающей в жидкости горизонтальное положение. Если же пластинка, погруженная в жидкость, занимает не горизонтальное положение, а, например, вертикальное, то ее различные точки находятся на различной глубине, а поэтому о расстоянии всей пластинки от свободной поверхности жидкости не имеет смысла говорить, и формула (11,7) для вычисления модуля силы давления на эту пластинку непригодна.

Отнесем пластинку ABCD к прямоугольной системе координат (см. чертеж), причем ось Оу расположим на поверхности жидкости. Абсциссы точек А и В соответственно равны а и b, а линия CD определяется уравнением y=f(x), где f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]

Разделим отрезок [а, b] на n произвольных частей и построим прямоугольники, как показано на чертеже. Площадь пластинки EFKH примем приближенно равной площади прямоугольника EFGH, т. е. произведению f(xi)∆xi. Чтобы вычислить приближенно величину давления на этот прямоугольник, повернем его вокруг стороны EH так, чтобы он принял горизонтальное поло­жение. Теперь уже к этой площадке применима формула (11,7), и приближенно величина давления жидкости на прямоугольник EFGH будет равна

Эта величина тем меньше будет отличаться от истинной величины давления на пластинку EFKH, чем на большее число n разделен отрезок [а, b].

Поступая так же со всеми прямоугольниками, мы найдем, что приближенно модуль силы давления определяется интегральной суммой

(постоянная величина γ входит в каждое слагаемое, а потому вынесена за знак суммы). При составлении интегральной суммы мы точку на каждом частичном отрезке взяли в его левом конце. Как известно, на предел интегральной суммы это не повлияет.

За точное значение модуля силы давления примем предел, к ко­торому стремится эта сумма, когда наибольший из отрезков xi стремится к нулю, а число n этих отрезков неограниченно увели­чивается

Так как xi →0, то каждое произведение xi f(xi) ∆xi — вели­чина бесконечно малая, и здесь опять-таки мы имеем дело с опре­делением предела суммы неограниченно возрастающего количества бесконечно малых величин.

Можем записать, что модуль силы давления жидкости на вертикально погруженную в нее стенку равен

(11.8)

7.4.2. Определить силу давления воды на вертикальную стену, имеющую форму полукруга радиуса диаметр которого находится на поверхности воды

Полукруг разделим на элементарные полоски прямыми, параллельными поверхности воды. Заштрихованную полоску примем за прямоугольник.

Тогда

7.4.3. Найти давление воды на поверхность шара диаметром 4м, если его центр находится на глубине 3м от поверхности воды.

Читайте также:  Болит затылок головы причины что делать давление в норме

Решение. Проведём через центр шара вертикальную плоскость и выберем на ней прямоугольную систему координат

Рассечем шар на глубине h горизонтальной плоскостью. При изменении h на dh площадь ,где -дифференциал дуги окружности. Давление

Выразив dp через одну переменную х и интегрируя в пределах оси х=-2 до х=2,найдём давление воды на всю поверхность шара.

Из уравнения окружности

найдём

и затем

7.4.4. Прямоугольная пластинка со сторонами а дм и h дм вертикально погружена в жидкость удельного веса γ. Сторона дли­ной а дм лежит на поверхности жидкости. Определить численное значение силы давления, испытываемого каждой стороной пластинки.

Решение. Применим формулу (11,8). В ней нижний предел интегрирования нужно взять равным нулю, верхний равен h, f (х)=а, а потому модуль силы давления

(давление получилось в килограммах, так как стороны прямо­угольника выражены в дециметрах).

При решении задачи значительно большую пользу принесло бы повторение рассуждений, проведенных в предыдущей задаче, чем использование готовой формулы (11,8).

7.4.5.Плотина имеет форму половины эллипса, малая ось которого 2b лежит на поверхности жидкости. Большая ось эллипса — 2а. Вычислить численное значение давления воды на плотину.

Указание. Если расположить оси, как это сделано на чертежe то эллипс определится уравнением

Вырежем полоску на глубине х шири­ною ∆x. Площадь этой полоски равна 2y∆x. Величину у определить из уравнения эллипса. Принять удельный вес воды γ=1.

Численное значение давления равно

Можно было сразу воспользоваться готовой формулой (11,8), в которой взять

Ответ. Если полуоси эллипса выражены в дециметрах, то численно давление получится в килограммах

Если заменить эллипс половиной круга (а =b) то

7.4.6. Найти численное значение давления воды (γ= 1) на треуголь­ные щиты, показанные на чертеже.

Указание. а) Уравнение АВ

б) уравнение ОС: .

Ответ, а) ; б) ;

7.4.7. Поперечное сечение стенки резервуара, наполненного водой, представляет дугу АВ круга радиуса а дм, центр О которого лежит на поверхности воды, а центральный угол АОВ равен α. Определить давление воды на эту дугу (см. чертеж).

Указание. 1. Дугу АВ разделить на n частей.

2. Учесть, что давление направлено по перпендикуляру к поверхности и численно равно произведению длины элемента ∆s на его глубину DC и на удельный вес γ жидкости.

3. Длина дуги окружности равна произведению ее радиуса на число радианов, содержащихся в центральном угле, опирающемся на эту дугу, т. е.

DC=asinφ; γ=1, а потому на элемент ∆s дуги АВ численное значение силы давления ∆p приближенно равно

∆p=(a sinφ)a∆φ= a 2 sinφ∆φ.

4. Найти проекции ∆X u ∆Y силы ∆р на оси Ох и Оу:

∆X=( a 2 sinφ∆φ)cos(90-φ)= a 2 sin 2 φ∆φ;

Ответ:

7.5. Кинематическая энергия

Кинематической энергией материальной точки, имеющей массу m и обладающей скоростью , называется выражение

Кинематическая энергия системы n материальных точек с массами m1,m2,….mn,обладающих соответственно скоростью ,равна

Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек),а затем, суммируя кинетические энергии этих частиц ,в пределе вместо суммы получают интеграл.

7.5.1. Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра плотности с радиусом основания и высотой ,вращающегося с угловой скоростью вокруг своей оси.

За элементарную массу dm принимаем массу полого цилиндра высоты h,с внутренним радиусом r и толщиной стенок dr .Имеем:

Так как линейная скорость массы dm равна ,то элементарная кинетическая энергия есть

Источник

Adblock
detector